das leidige Thema - Mathematik
Ich schreibe diesen Text nicht, um mich zum zehnten Mal zu wiederholen. Aber meine Beschäftigung mit dem Vokabellernen auf memrise zeigt mir, dass ein ungemeines Lernpensum möglich ist, wenn nur die Lerneinheiten klein genug sind. (Bei Chinesisch bin ich mit 10 neuen Vokabeln durchaus ausgelastet, bei Serbisch dürfen es auch 30 sein. Doch in der Beschränkung liegt die Stärke.)
Im Standard lese ich heute über die Angst der LehrerInnen vor der Zentralmatura. Besonders oder auch speziell Mathematik wird da als Beispiel herangezogen.
Vor wenigen Wochen wurde ein Kommentar von mir aufs Heftigste kritisiert, in dem ich behauptet habe, dass man den Unterricht so gestalten könne, dass man nur 5 Minuten Stoff vorträgt und den Rest über Rechnen an der Tafel erledigt, wobei jeder Schüler, auch die schwachen drankommen. Denn nur dann stellt man fest, wo die eigentlichen Verständigungsschwierigkeiten her rühren. Bin ich doch tatsächlich von einer Professorin, die wie sie selbst behauptet 32 Jahre BHS-Lehrerfahrung hat, angegriffen worden, dass es unmöglich sei, etwas in fünf Minuten zu erklären. Jemand hat mir dann ein typisches PISA-Problem aufgegeben und mich gefragt, wie ich das mit Mitteln des Unterstufenstoffs überhaupt erklären könne. Meine Antwort war ein Zehnzeiler, der das Problem lösen konnte. Aber seither habe ich nichts mehr von dem Leser gehört.
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Gestern lese ich auf Facebook ein Einsteinzitat: wer etwas nicht einfach erklären kann, hat den Stoff selbst nicht kapiert. Obwohl ich nicht jedes Einsteinzitat mag, kann ich dem zustimmen. Dazu passt auch Coelho, (den ich sonst auch nicht mag) dessen (hier sinngemäße) Aussage auf einer Tafel vor dem Stift Göttweig zu lesen ist: "Wenn man etwas wirklich gut verstehen will, muss man es lehren können."
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Das bringt mich auf eine Erweiterung meiner "pädagogischen" Erkenntnisse. In der heutigen Zeit klagen die Eltern darüber, dass sie nicht mehr verstehen, was die Jugend lernt. (Ehrlich gesagt trifft das auf mich nicht zu, aber das ist ein anderes Kapitel.)
Jetzt könnte der Unterricht so aussehen:
1) 5-10 Minuten Frontalvortrag
2) 30 Minuten Rechnen an der Tafel
3) 5 Minuten Sammeln der Fragen, die vom letztmaligen Stoff übrig geblieben sind.
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Als Hausaufgabe gibt es für Mathematik ein Pensum von 30 Minuten Beispiele rechnen und 15 Minuten, der Mutter oder dem Vater erklären, was man genau in dieser Stunde gelernt hat. In einem Logbuch schreibt dann der Erziehungsberechtigte entweder ein ok-Hakerl oder einen Satz, was nicht verstanden wurde.
Ich glaube, dass hier mehrere Fliegen mit einem Schlag erledigt werden. Soziale Interaktion, familiäre Bindung und stark verbesserter Lernerfolg.
Wenn die Eltern da nicht mitspielen, (aus dem vielgepriesenen Zeitmangel heraus) brauchen sie sich auch sonst nicht aufregen, wenn das Kind irgendwann den Anschluss verliert.
.
Ich stelle die Notwendigkeit, etwas gut erklären zu können, auch bei mir selbst fest. Es gibt Mathematikinhalte der höheren Mathematik, über die ich mich hinweg geschummelt habe. Wenn sie aber wie bei David Foster Wallace gut und teilweise witzig beschrieben sind, mache ich mir auch die Mühe, einen Beweis nachzuvollziehen, von dem der beweisführende Cantor selbst an Dedekind geschrieben hat: "Ich sehe meinen Beweis, aber ich kann ihn nicht glauben."
Im Standard lese ich heute über die Angst der LehrerInnen vor der Zentralmatura. Besonders oder auch speziell Mathematik wird da als Beispiel herangezogen.
Vor wenigen Wochen wurde ein Kommentar von mir aufs Heftigste kritisiert, in dem ich behauptet habe, dass man den Unterricht so gestalten könne, dass man nur 5 Minuten Stoff vorträgt und den Rest über Rechnen an der Tafel erledigt, wobei jeder Schüler, auch die schwachen drankommen. Denn nur dann stellt man fest, wo die eigentlichen Verständigungsschwierigkeiten her rühren. Bin ich doch tatsächlich von einer Professorin, die wie sie selbst behauptet 32 Jahre BHS-Lehrerfahrung hat, angegriffen worden, dass es unmöglich sei, etwas in fünf Minuten zu erklären. Jemand hat mir dann ein typisches PISA-Problem aufgegeben und mich gefragt, wie ich das mit Mitteln des Unterstufenstoffs überhaupt erklären könne. Meine Antwort war ein Zehnzeiler, der das Problem lösen konnte. Aber seither habe ich nichts mehr von dem Leser gehört.
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Gestern lese ich auf Facebook ein Einsteinzitat: wer etwas nicht einfach erklären kann, hat den Stoff selbst nicht kapiert. Obwohl ich nicht jedes Einsteinzitat mag, kann ich dem zustimmen. Dazu passt auch Coelho, (den ich sonst auch nicht mag) dessen (hier sinngemäße) Aussage auf einer Tafel vor dem Stift Göttweig zu lesen ist: "Wenn man etwas wirklich gut verstehen will, muss man es lehren können."
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Das bringt mich auf eine Erweiterung meiner "pädagogischen" Erkenntnisse. In der heutigen Zeit klagen die Eltern darüber, dass sie nicht mehr verstehen, was die Jugend lernt. (Ehrlich gesagt trifft das auf mich nicht zu, aber das ist ein anderes Kapitel.)
Jetzt könnte der Unterricht so aussehen:
1) 5-10 Minuten Frontalvortrag
2) 30 Minuten Rechnen an der Tafel
3) 5 Minuten Sammeln der Fragen, die vom letztmaligen Stoff übrig geblieben sind.
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Als Hausaufgabe gibt es für Mathematik ein Pensum von 30 Minuten Beispiele rechnen und 15 Minuten, der Mutter oder dem Vater erklären, was man genau in dieser Stunde gelernt hat. In einem Logbuch schreibt dann der Erziehungsberechtigte entweder ein ok-Hakerl oder einen Satz, was nicht verstanden wurde.
Ich glaube, dass hier mehrere Fliegen mit einem Schlag erledigt werden. Soziale Interaktion, familiäre Bindung und stark verbesserter Lernerfolg.
Wenn die Eltern da nicht mitspielen, (aus dem vielgepriesenen Zeitmangel heraus) brauchen sie sich auch sonst nicht aufregen, wenn das Kind irgendwann den Anschluss verliert.
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Ich stelle die Notwendigkeit, etwas gut erklären zu können, auch bei mir selbst fest. Es gibt Mathematikinhalte der höheren Mathematik, über die ich mich hinweg geschummelt habe. Wenn sie aber wie bei David Foster Wallace gut und teilweise witzig beschrieben sind, mache ich mir auch die Mühe, einen Beweis nachzuvollziehen, von dem der beweisführende Cantor selbst an Dedekind geschrieben hat: "Ich sehe meinen Beweis, aber ich kann ihn nicht glauben."
steppenhund - 14. Apr, 09:20
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rosmarin - 15. Apr, 11:51
dass du, lieber steppenhund, genau diese fähigkeiten besitzt, stoffe so zu durchdringen, dass du sie auf vielfache weise kurz erläutern kannst, das glaube ich sofort und habe es ja auch schon erlebt.
das bringt mich jetzt zu einer frage, die mich sicherlich als vollkommmen dämlich outet, sie ist mir aber wichtig:
bei einer sog. nicht-trivialen maschine, mit zwei internen systemzuständen, vier input und vier output-variablen, die sich ja je nach systemzustand verändern, kommt heinz von förster auf 16hoch2 reaktionsmöglichkeiten.
seufz.... ich kapier es nicht und würde gerne die formel dazu wissen. ich finde keine im internet....
ratlosen gruß
das bringt mich jetzt zu einer frage, die mich sicherlich als vollkommmen dämlich outet, sie ist mir aber wichtig:
bei einer sog. nicht-trivialen maschine, mit zwei internen systemzuständen, vier input und vier output-variablen, die sich ja je nach systemzustand verändern, kommt heinz von förster auf 16hoch2 reaktionsmöglichkeiten.
seufz.... ich kapier es nicht und würde gerne die formel dazu wissen. ich finde keine im internet....
ratlosen gruß
steppenhund - 15. Apr, 13:01
Liebe Rosmarin,
die Angabe kann zur Verwirrung führen, sie ist einerseits zu ungenau, (pädagogisch nicht zielführend) und andererseits durch überflüssige Angaben verwirrend.
Was mich bei dieser Fragestellung stört, ist die Angabe von zwei internen Systemzuständen.
Da bei der nicht-trivialen Maschine, die innere Verarbeitung der Maschine nicht konstruiert werden kann, kann lediglich aufgrund der Eingangskombination (4 binäre Variablen ergibt 2^4 = 16 Möglichkeiten) der Ausgang beobachtet werden. Der Ausgang, (sehr unpädagogisch hier ebenfalls mit 4 Ausgängen angenommen) kann sich jetzt theoretisch in 16 verschiedenen internen Steuereingangsinformationen auswirken. Wenn also bekannt ist, dass es nur zwei interne Systemzustände gibt (z.B. A), so gibt es 2^4=16 verschiedene Möglichkeiten von Zustand A nach B zu kommen, oder von B nach A, von A nach A oder von B nach B.
Die Übergangsmatrix, die beschreibt, wann von A nach B oder sonstwie gewechselt wird, ist erfassbar, wenn man nur zwei Systemzustände betrachten muss.
Man muss also die Eingangskombinationen mit den Ausgangskombinationen multiplizieren. (Das betrifft die Ausgänge, von denen man weiß, dass sie den Systemzustand beeinflussen. Da wir nichts wissen, müssen wir alle Ausgänge in die Berechnung einbeziehen.)
Meiner Meinung nach ist die Formel also eher als:
2^4 x 2^4 zu beschreiben. Gäbe es drei Eingänge und 6 Ausgänge, (die ins System rückwirken) wäre die Formel 2^3 x 2^6.
Sofern man nur binäre Werte betrachtet, ist die Formel relativ leicht nachzuvollziehen.
(Anzahl der Eingänge)^2 mal (Anzahl der Ausgänge mit Rückwirkungen)^2
Man könnte dann also einfach die innere Maschine bestimmen und aus ihr eine triviale Maschine machen.
Im Zusammenhang mit dem Behaviourismus, der dich ja wahrscheinlich interessiert, erscheint allerdings die Beschränkung auf binäre Größen nicht besonders sinnvoll. Dann ist auch der innere Mechanismus nicht beschreibbar. Es sei denn, man beschränkt sich auf statistische Aussagen, gegen die ich persönlich nichts einwänden würde.
Die Mathematik, die dafür notwendig ist, ist etwas aufwändiger als sie in einem Resultat 256 zu sein scheint.
Anmerkung 1: Förster selbst hat bei einigen Beispielen eine Zahl von 10^153 geschätzt. Dort spielt sich schon eher die Realität ab und selbst da beschränkt er sich auf das, was man damals an physikalischen Maschinen messen und unterscheiden konnte.
Anmerkung 2: Förster verwendet die nicht-triviale Maschine, um Komplexität zu zeigen. Als ich in den 80er-Jahren Service-Tätigkeiten an Elektronenmikroskopen durchführte, machte ich meine eigene Beobachtungen zu dem Thema. Gibt es an einer komplizierten Maschine einen (1) Defekt, so ist der ziemlich leicht zu finden und zu beheben. Gibt es zwei Defekte, die unabhängig von einander auftreten, vergrößert sich die Suchzeit überproportional, denn dann tritt genau das Problem auf, dass ich nicht weiß, wie sich die Fehler gemeinsam auf den inneren Zustand der Maschine auswirken und entsprechende Messresultate sind viel schwerer zu identifizieren.
Anmerkung 3: Ausgehend davon arbeite ich zur Zeit an einem Menschenprofil, welches der Software-Tester der kommenden Generationen besitzen muss. Es geht darum die Kombination von Fehlern zu finden, die für sich allein betrachtet unbedeutsam sind, doch erst im Zusammenwirken zu echten Katastrophen führen können. Da geht es um nicht-lineare Zusammenhänge, worum momentan alle einen ganz großen Bogen machen.
die Angabe kann zur Verwirrung führen, sie ist einerseits zu ungenau, (pädagogisch nicht zielführend) und andererseits durch überflüssige Angaben verwirrend.
Was mich bei dieser Fragestellung stört, ist die Angabe von zwei internen Systemzuständen.
Da bei der nicht-trivialen Maschine, die innere Verarbeitung der Maschine nicht konstruiert werden kann, kann lediglich aufgrund der Eingangskombination (4 binäre Variablen ergibt 2^4 = 16 Möglichkeiten) der Ausgang beobachtet werden. Der Ausgang, (sehr unpädagogisch hier ebenfalls mit 4 Ausgängen angenommen) kann sich jetzt theoretisch in 16 verschiedenen internen Steuereingangsinformationen auswirken. Wenn also bekannt ist, dass es nur zwei interne Systemzustände gibt (z.B. A), so gibt es 2^4=16 verschiedene Möglichkeiten von Zustand A nach B zu kommen, oder von B nach A, von A nach A oder von B nach B.
Die Übergangsmatrix, die beschreibt, wann von A nach B oder sonstwie gewechselt wird, ist erfassbar, wenn man nur zwei Systemzustände betrachten muss.
Man muss also die Eingangskombinationen mit den Ausgangskombinationen multiplizieren. (Das betrifft die Ausgänge, von denen man weiß, dass sie den Systemzustand beeinflussen. Da wir nichts wissen, müssen wir alle Ausgänge in die Berechnung einbeziehen.)
Meiner Meinung nach ist die Formel also eher als:
2^4 x 2^4 zu beschreiben. Gäbe es drei Eingänge und 6 Ausgänge, (die ins System rückwirken) wäre die Formel 2^3 x 2^6.
Sofern man nur binäre Werte betrachtet, ist die Formel relativ leicht nachzuvollziehen.
(Anzahl der Eingänge)^2 mal (Anzahl der Ausgänge mit Rückwirkungen)^2
Man könnte dann also einfach die innere Maschine bestimmen und aus ihr eine triviale Maschine machen.
Im Zusammenhang mit dem Behaviourismus, der dich ja wahrscheinlich interessiert, erscheint allerdings die Beschränkung auf binäre Größen nicht besonders sinnvoll. Dann ist auch der innere Mechanismus nicht beschreibbar. Es sei denn, man beschränkt sich auf statistische Aussagen, gegen die ich persönlich nichts einwänden würde.
Die Mathematik, die dafür notwendig ist, ist etwas aufwändiger als sie in einem Resultat 256 zu sein scheint.
Anmerkung 1: Förster selbst hat bei einigen Beispielen eine Zahl von 10^153 geschätzt. Dort spielt sich schon eher die Realität ab und selbst da beschränkt er sich auf das, was man damals an physikalischen Maschinen messen und unterscheiden konnte.
Anmerkung 2: Förster verwendet die nicht-triviale Maschine, um Komplexität zu zeigen. Als ich in den 80er-Jahren Service-Tätigkeiten an Elektronenmikroskopen durchführte, machte ich meine eigene Beobachtungen zu dem Thema. Gibt es an einer komplizierten Maschine einen (1) Defekt, so ist der ziemlich leicht zu finden und zu beheben. Gibt es zwei Defekte, die unabhängig von einander auftreten, vergrößert sich die Suchzeit überproportional, denn dann tritt genau das Problem auf, dass ich nicht weiß, wie sich die Fehler gemeinsam auf den inneren Zustand der Maschine auswirken und entsprechende Messresultate sind viel schwerer zu identifizieren.
Anmerkung 3: Ausgehend davon arbeite ich zur Zeit an einem Menschenprofil, welches der Software-Tester der kommenden Generationen besitzen muss. Es geht darum die Kombination von Fehlern zu finden, die für sich allein betrachtet unbedeutsam sind, doch erst im Zusammenwirken zu echten Katastrophen führen können. Da geht es um nicht-lineare Zusammenhänge, worum momentan alle einen ganz großen Bogen machen.
rosmarin - 15. Apr, 13:13
lieber steppenhund,
auf 256 wäre ich mit meiner logik auch gekommen, nur leider ist sie in den beispiel falsch (es muss etwas mit dem reentry zu tun haben).
der behaviorismus interessiert mich in keinster weise. ich will das försterbeispiel benutzen um zu zeigen, dass der mensch viel zu komplex ist, um steuerbar zu sein. dafür ist das beispiel mit den beiden systemzuständen (gute laune/schlechte laune) so simpel und erbringt diese hoche zahl von 65tausendirgendwas.
in der synergetik wird ja komplexität durch musterbildung reduziert. in der psychologie nennen wir das dann gewohnheit, einstellung, eigenschaft. aber es handelt sich hier um aktive versuche, kommunikation und aufeinander gerichtetes verhalten überhaupt erst zu ermöglichen.
daher mag ich dieses simple beispiel und finde es pädagogisch gar nicht so blöd, denn es lässt erahnen, um wieviel komplexer das ganze eigentlich ist.
und danke für deine schnelle antwort und im unten stehenden link, kann man ein bisschen mit der nt-maschine spielen.
http://ttorga.de/ntm/
ps. zu deiner letzten anmerkung kann ich nur sagen: verständlich, dass sich davor alle drücken. wenn ich es richtig verstehe ist dazu ja ein musterbildungsprozess notwendig, der ein vollständiges universum an erfahrungswissen benötigt.
lg ro
auf 256 wäre ich mit meiner logik auch gekommen, nur leider ist sie in den beispiel falsch (es muss etwas mit dem reentry zu tun haben).
der behaviorismus interessiert mich in keinster weise. ich will das försterbeispiel benutzen um zu zeigen, dass der mensch viel zu komplex ist, um steuerbar zu sein. dafür ist das beispiel mit den beiden systemzuständen (gute laune/schlechte laune) so simpel und erbringt diese hoche zahl von 65tausendirgendwas.
in der synergetik wird ja komplexität durch musterbildung reduziert. in der psychologie nennen wir das dann gewohnheit, einstellung, eigenschaft. aber es handelt sich hier um aktive versuche, kommunikation und aufeinander gerichtetes verhalten überhaupt erst zu ermöglichen.
daher mag ich dieses simple beispiel und finde es pädagogisch gar nicht so blöd, denn es lässt erahnen, um wieviel komplexer das ganze eigentlich ist.
und danke für deine schnelle antwort und im unten stehenden link, kann man ein bisschen mit der nt-maschine spielen.
http://ttorga.de/ntm/
ps. zu deiner letzten anmerkung kann ich nur sagen: verständlich, dass sich davor alle drücken. wenn ich es richtig verstehe ist dazu ja ein musterbildungsprozess notwendig, der ein vollständiges universum an erfahrungswissen benötigt.
lg ro
testsiegerin - 15. Apr, 13:14
ach so ist das ;-)
steppenhund - 15. Apr, 13:36
@Rosmarin
Ich stelle fest, dass ich die allgemeine Formel genau falsch angegeben habe:
(Anzahl der Eingänge)^2 mal (Anzahl der Ausgänge mit Rückwirkungen)^2
gehört korrigiert zu:
2^(Anzahl der Eingänge) mal 2^(Anzahl der Ausgänge) vorausgesetzt, man weiß dass es nur zwei innere Zustände gibt.
Mit 2^16, was genau umgekehrt zu deiner ursprünglichen Frage ist, (65536) hätte ich mich auch wohler gefühlt, obwohl dann die Beschränkung auf 2 Systemzustände sinnlos ist.
Die Formel wäre dann: (2^(Anzahl der Eingänge))^(Anzahl der Ausgänge)
(Anzahl der Eingänge)^2 mal (Anzahl der Ausgänge mit Rückwirkungen)^2
gehört korrigiert zu:
2^(Anzahl der Eingänge) mal 2^(Anzahl der Ausgänge) vorausgesetzt, man weiß dass es nur zwei innere Zustände gibt.
Mit 2^16, was genau umgekehrt zu deiner ursprünglichen Frage ist, (65536) hätte ich mich auch wohler gefühlt, obwohl dann die Beschränkung auf 2 Systemzustände sinnlos ist.
Die Formel wäre dann: (2^(Anzahl der Eingänge))^(Anzahl der Ausgänge)
steppenhund - 15. Apr, 13:40
Leider kann ich deiner Aussage, dass der Mensch zu komplex ist, um steuerbar zu sein, absolut nicht zustimmen. Den Einzelmenschen kannst Du nicht gezielt steuern, doch die kleinen oder großen Massen sehr wohl.
Dafür habe ich jede Menge an Beweisen, wenn ich die Geschichte heranziehe. Es gibt ja genügend Beispiele, wo das Charisma eines einzelnen Millionen in den Untergang geführt hat.
Aber wie gesagt: das funktioniert dann nur mehr mit statistischen Größen.
Dafür habe ich jede Menge an Beweisen, wenn ich die Geschichte heranziehe. Es gibt ja genügend Beispiele, wo das Charisma eines einzelnen Millionen in den Untergang geführt hat.
Aber wie gesagt: das funktioniert dann nur mehr mit statistischen Größen.
rosmarin - 15. Apr, 13:55
sicher gibt es diese massenphänomene von schwarmverblödung. nichtsdestotrotz beruhen sie auf individuellen entscheidungen. und genau um die nutzlosigkeit statsistischer Größen bei der Erklärung und Beeinflussung individuellen Verhaltens geht es mir ja :-)
merci
merci
steppenhund - 15. Apr, 14:11
Ich wäre da sowieso vorsichtig, eine Abschätzung vorzunehmen. In dem Link, den Du geschickt hast, kommt eine ganz andere Abschätzung vor. Wenn ich länger darüber nachdenke, gibt es verschiedene Einschränkungen oder auch erlaubte Möglichkeiten, die die Anzahl noch stark in die Höhe treiben könnten. Z.B. ist im Inneren der Maschine ein kleiner Automat eingebaut, der Primzahlen ausrechnet und sich die letzte merkt. Dann gäbe es überhaupt keine Beschränkung von Zuständen.
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Aber was die Vorhersage von menschlichem Verhalten angeht, gibt es ja auch noch Brecht (oder war es Tucholsky): Erst kommt das Fressen, dann die Moral.
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Aber was die Vorhersage von menschlichem Verhalten angeht, gibt es ja auch noch Brecht (oder war es Tucholsky): Erst kommt das Fressen, dann die Moral.
rosmarin - 15. Apr, 14:20
jööööööööö das mit dem kleinen primzahlenautomaten dadrin ist eine wirklich schöne idee!
aber ich kau noch an der grundformel
und nun werde ich mir das brecht- oder tucholskyzitat noch für den krönenden abschluss meines vortrags ergxxgln :-)
aber ich kau noch an der grundformel
und nun werde ich mir das brecht- oder tucholskyzitat noch für den krönenden abschluss meines vortrags ergxxgln :-)
Bedauerlicherweise setzen sich die wenigsten Lehrer im Laufe iher Schullaufbahn nochmals mit solchen Lehrmethoden auseinander. Es ist ja auch viel einfacher das ALT-hergebrachte fortzuführen, anstatt sich be-lehren zu lassen :-/.
Heute bin ich froh, meinen Lehrberuf nicht ausüben zu müssen.....und lieber selbständig zu sein.
Ich denke, es liegt daran, dass die Eltern (in großer Mehrzahl) die Schule nur als Aufbewahrungsanstalt sehen.
Wenn ich die Schullaufbahn meines Sohnes betrachte, so ist die Schule nicht viel mehr als eine Aufbewahrungsanstalt - leider haben wir sie so erlebt. Schüler, die sich in irgendeiner Form von der Masse unterscheiden, fallen aus diesem System heraus. Irgendwann in der 8. o. 9.Klasse habe ich mich mit meinem Sohn dahingehend geeinigt, dass er eben bis zum Abi durchhalten muß, wenn auch ein Jahr verkürzt. Seine Meinung hierzu wäre sicherlich interessant. Bildung bzw. entsprechende Förderung hat - leider mußten wir auch das feststellen - viel mit Geld zu tun.
Ich könnte noch eine Menge dazu schreiben.....aber es ist Sonntag ;-).