Kondensat der Jahre

Im Fernsehen läuft gerade "A beautiful mind", die Geschichte über John Forbes Nash Jr.
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Im Film wird sein Durchbruch sehr hübsch am Beispiel einer Blondine erläutert, auf die sich alle stürzen möchten, wodurch sie keiner erhält. Im Film zählt er das Kooperationsprinzip zu einer Erweiterung der Theorien von Adam Smith. Was sich aber auch daraus ableiten lässt, ist der Umstand, dass reine Optimierung für das Individuum schlechter ist als die Suche nach einer Optimierung für das Individuum und die Gruppe.
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Das alles lässt sich anhand von Spieltheorien, Gefangenendilemma und Suboptimierung selbst für Laien verständlich darstellen.
Es bedeutet aber auch, dass die heutigen Schwierigkeiten in der Finanzwirtschaft gar nicht notwendig wären, wenn man ein bisschen mehr auf das achten würde, was der Mensch an sich eh schon weiß. Wofür er schon Nobelpreise vergeben hat. Was schon eine ganze Reihe von gescheiten Menschen als richtig akzeptiert hat.
Wir können aber auch glauben, dass alles, was wissenschaftlich bekannt und erwiesen ist, für alle anderen gilt - nur nicht für mich. Ich bin die Ausnahme - ich darf das Beste nur für mich allein wollen.
Das ist die Denkweise, wenn ich die Mathematik konterkarieren möchte. Und ist es nicht seltsam?
Für die angesprochene Erkenntnis bekommt jemand den Nobelpreis, obwohl es gar keinen Nobelpreis für Mathematik gibt. Es scheint sich um eine wichtige Erkenntnis zu handeln. Aus dem Grundlagenbereich, - der Nobelpreis in den Wissenschaften wird nur für Grundlagenforschung verliehen.
Aber das interessiert uns nicht. Das ist Mathematik. Die braucht man nicht. Auch nicht das, was ich davon ableiten kann.
Und plötzlich rächt sich die Mathematik, obwohl sie eigentlich nicht rachsüchtig ist.
Sie rächt sich einfach deswegen, weil sie recht hat.

Nachtrag:
Im Übrigen ist die Erkenntnis nicht einmal ganz neu. Schon vor 2000 Jahren hat das jemand auf etwas andere Weise formuliert. Aber darüber können gläubige Menschen besser reden. Es geht da um dieses sehr aktienfremde Thema Nächstenliebe.

kann man getrost nach Hause tragen.
Mitnichten.
Zuerst einmal die gute Nachricht: "Der Standard ist lernfähig". So ist zur Zeit in der Online-Version ein Fehler, der im Druck erschien, berichtigt. Ein zweiter Fehler, der die Schlagzeile auf Seite 1 ausmachte, scheint online scheinbar gar nicht mehr auf. Er scheint auch nicht in meiner niederösterreichischen Abonnement-Ausgabe auf, die ich zur Zeit für 8 € monatlich beziehe.
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Den Fehler eins habe ich in Druck vor mir liegen. Auf Seite 23 (das ist die erste Seite des Wirtschaftteils) bangt die Unfallversicherung um 29 Milliarden (ohne Einheit, vielleicht Erbsen) wegen isländischen Anleihenfonds.
Im Text bangt sie dann nur mehr um 29 Millionen Euro. Welche Währung ist genau 1000 mal weniger wert als der Euro?
Ich bin ein bisschen verunsichert. Ist eine Million das gleiche wie eine Milliarde?
Eine Million Euro brutto verdient einer, wenn er vierzig Jahre ungefähr 1780 € im Monat mit 13. und 14. Monatsgehalt verdient. Er hackelt quasi sein ganzes Leben dafür.
Eine Milliarde Euro brutto verdient einer, wenn er vierzig Jahre ungefähr 1.780.000 € im Monat verdient. Das schaft nicht einmal der Ackermann.
Also was jetzt?
Noch schöner war die Schlagzeile auf Seite eins, dass Europa mehr für seine Banken tut als Amerika. Europa gibt 2000 Milliarden Euro aus, Amerika im kleiner gedruckten Artikel nur 700 Millionen. Ok, das ist ein Druckfehler. Aber wer macht den?
Sind wir alle so blind?
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Also der Internet-Text ist mittlerweile korrekt, was die AUVA angeht. Von den 2000 Milliarden Euro habe ich nichts mehr gefunden.
Übrigens 2000 Milliarden sind 2 europäische Billionen.
2.000.000.000.000
Ganz Österreich müsste dafür ungefähr 7 Jahre hackeln. In der Zeit gäbe es keine Kinderbeihilfe, keinen Unterricht, keine Beamtenbesoldung, keinen Straßenaubbau, keine Zinsentilgung, (ich rechne jetzt nicht aus, wie hoch wir nach diesen 7 Jahren verschuldet wären) keine Politikergehälter (oder sind das auch Beamte?) und vieles mehr gäbe es nicht mehr.
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Naja, eigentlich wollte ich nur darauf hinweisen, dass zwischen einer Milliarde und einer Million ein Unterschied besteht. Allerdings hat vor etlichen Jahren nicht einmal ein deutscher Finanzminister beantworten können, um wieviele Nullen eine Milliarde mehr hat.
Was reg ich mich also auf?

Die Bezeichnung kleinster gemeinsamer Nenner wird umgangssprachlich tatsächlich so wie beabsichtigt gebraucht.
Anbei vier Links, aus denen sich jeder seine Meinung bilden kann.

http://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fter_gemeinsamer_Teiler
http://bar.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fter_gemeinsamer_Nenner
http://www.wer-weiss-was.de/theme46/article3179342.html
http://de.wikipedia.org/wiki/Kleinster_gemeinsamer_Nenner
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Das Gegenstück zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist der größte gemeinsame Teiler. Es ist möglich, diesen zum kleinsten gemeinsamen Nenner umzufunktionieren.
Ich werde wohl aufhören, mir über mathematische Semantiken den Kopf zu zerbrechen.
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Verscholle mich weiter...

sei bemerkt, dass das Geld auf der Strasse liegt.
Man übersetze sich unteren Text auf deutsch, beweise die relativ triviale Annahme und kassiere 1.000.000 US$ in Scheck oder bar vom Clay Institute, von dem auch der Text zitiert ist.
Es hilft, wenn man nicht beim ersten Ansehen mathematische Symbole einem automatischen Fluchtreflex zu Opfer fällt und Mann oder Frau etwas Zeit zu investieren hat. Ich nehme an, dass man schon ein paar Jährchen brauchen wird, bis man mit dem Beweis durch ist.
Nur einmal ein kleiner Gegenbeweis, dass Mathematik durchaus einträglich sein kann...


Riemann'sche Vermutung

Some numbers have the special property that they cannot be
expressed as the product of two smaller numbers, e.g., 2, 3, 5, 7, etc. Such numbers are called prime numbers, and they play an important role, both in pure mathematics and its applications. The distribution of such prime numbers among all natural numbers does not follow any regular pattern, however the German mathematician G.F.B. Riemann (1826 - 1866)
observed that the frequency of prime numbers is very closely related to the behavior of an elaborate function

   
ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...

called the Riemann Zeta function. The Riemann hypothesis asserts that all interesting solutions of the equation

   
ζ(s) = 0

lie on a certain vertical straight line. This has been checked for the first 1,500,000,000 solutions. A proof that it is true for every interesting solution would shed light on many of the mysteries surrounding the distribution of prime numbers.

Der Text stammt von der Web-Seite des Clay-Instituts, die Anregung dazu findet sich bei Kwaku Ananse. (link in der Blogroll)

Nachtrag:
ich stelle fest, dass das Geld auch nicht mehr das wert ist, was es einmal war.
Früher hätte man für eine Million Dollars so einiges gemacht.
Mitnichten. Noch keine einzige Anmeldung...

Natürliche Zahlen und die Peano-Axiome
auch für Nichtmathematiker vielleicht amüsant zu lesen

Laut DIN 5473 werden die natürlichen Zahlen folgendermaßen definiert:

Die Menge der natürlichen Zahlen IN enthält die Zahlen, die zum Abzählen benötigt werden einschließlich der Zahl Null. ( IN ist die hier verwendete Schreibweise für ein N mit doppeltem Linksstrich.)

Stellvertretend für viele andere Erklärungen zu diesem Phänomen seien hier zwei Zitate aus Mathematikvorlesungen genannt. (bewusst ohne Quellenangabe, mittlerweile ist es in den neuen Lehrbüchern so verankert.)

“Die Definition ordnet das Element 0 der Menge der natürlichen Zahlen IN zu. Obwohl dies vom Begriff des Abzählens nicht direkt einzusehen ist , wird dadurch jedoch die Symbolik der Zahlengrundmengen vereinfacht. Aber auch die Schreibweise von Indizes an Koeffizienten beginnt meist mit 0.“ (Hervorhebung durch den Editor)

“Dabei ist zu beachten, daß die Null bei der Definition nach der DIN-Norm in den naürlichen Zahlen enthalten ist. Viele Lehrbücher verwenden eine andere Definition der natürlichen Zahlen, bei der die Null nicht enthalten ist. In diesem Skript wird aber die Null immer in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten sein. “ (damit sind wohl “alte” Lehrbücher gemeint)

Im Kasten unten sind die Peano-Axiome angeführt, auf deren Grundlage die Beweisführung für eine Reihe von wesentlichen mathematischen Aussagen mittels vollständiger Induktion möglich ist. Das dritte Peaon-Axiom wird durch die Definition eindeutig umgestoßen. Gemäß Definition ist der Nachfolger von 0 die 1.

Was folgt daraus? .....

Giuseppe Peano

Geboren: 27. August 1858 in Cuneo, Piemont, Italien
Gestorben: 20. April 1932 in Turin, Italien

Axiome, die die Menge der natürlichen Zahlen begründen:


1 ist eine (natürliche) Zahl.
Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
1 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h aus n' = m' folgt n = m.

Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.


Dese Axiome wurden von Giuseppe Peano 1892 publiziert.

Auf Axiom V beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion:

Wenn man eine Aussageform a(n) für alle natürlichen Zahlen n als gültig nachweisen will, so weist man sie zunächst für die Zahl n=1 nach (Verankerung) und zeigt dann, dass - falls a(k) wahr ist, auch a(k') = a(k+1) wahr ist. Wegen Axiom V. muss dann a(n) für alle natürlichen n wahr sein. Kurz:

Verankerung:

Wenn für eine Behauptung a
a(1) gilt und aus
Induktionsschritt:
a(k) --> a(k+1) (für alle k) folgt, dann gilt
Es gilt:
a(n) (für alle natürlichen Zahlen n)

Anmerkung: man kann auch mit a(5) anfangen oder einer anderen natürlichen Zahl, doch mit a(0) wird die Beweislage schwierig.

Zusätzliche Überlegung:

Dem geneigten Leser stelle ich anheim, sich selbst über die Begriffe “natürlich”, (Mathematik)-Geschichte umschreiben (Orwell 1984) und die Autoren deutscher Industrienormen ein entsprechendes Bild zu machen. Vielleicht ist das nur der i-Punkt auf den Resultaten der Pisa-Studie.

Aber für angesehene Mathematiker ist Natürlichkeit nur eine Konventionalität. Kein Wunder, dass die Schüler sich dann fragen, wieso sie so etwas Vertrotteltes wie eine natürliche Mathematik lernen sollen.

Nachwort: und ja ich weiss, dass man den Induktionsschluss sehr wohl auch mit den neuen natürlichen Zahlen durchführen kann. Man benötigt halt noch einen Zusatz, dass a(0) nicht für die Beweisführung herangezogen werden darf.
Aber genau diese Art von Denkweise ist es, welche die Leute im Elfenbeinturm abgrenzt.

oder sie werden es.
Wer frühere Einträge von mir gelesen hat oder mich persönlich kennt, wird die Ironie meiner Aussage richtig einschätzen können.
Gerade weil mich meine Freunde und Verwandten kennen, bekomme ich zu Weihnachten auch Bücher, die sich mit ungelösten Fragen beschäftigen. Oder mit Paradoxa.
Über die Feiertage habe ich vornehmlich in einem Buch gelesen, welches sich mit dem Paradoxon von Banach-Tarski beschäftigt.
Das Buch ist so gut geschrieben, dass die wesentlichen Punkte der Beweisführung sehr verständlich erklärt scheinen. Interessanterweise war am 3. Jänner ein Radiobeitrag über eine neue Biografie über Georg Cantor, dem Begründer der Mengenlehre, der mit einem fingierten Streitgespräch zwischen einem Platoniker und einem Realisten dramatisiert war.
Anläßlich eines früheren Beitrags bemerkte ein anonymer Kommentator, dass ich die Quadratur des Kreises wohl vergeblich versuchen würde. (Gleichzeitig die Masse und die "Elite" anzusprechen)
Für mich erscheinen nun drei Themen als erwähnenswert:

1. die Erklärung der mathematischen Standpunkte
2. die Erwähnung, dass ich jetzt langsam begreife, wie vertrottelt die Lehrplanersteller gewesen sind, welche die Generation nach mir unbedingt mit Mengenlehre füttern musste.
3. die Darstellung, dass die Quadratur des Kreises tatsächlich möglich ist. (nicht griechisch sondern scherenkongruent)

Damit dieser Beitrag nicht zu lang wird, beschränke ich mich heute auf den ersten Punkt. Für eine genauere Betrachtung bietet sich auch die Philosophie der Mathematik an.

Die platonische Sicht der Mathematik (oder der mathematische Realismus) behauptet, dass die mathematischen Objekte unabhängig vom menschlichen Geist existieren. Eine Zahl pi, ein Beweis, eine Lösung wird vom Mathematiker entdeckt. Die mathematischen Objekte sind genauso wenig ein Erzeugnis des menschlichen Geistes, wie ein Diamant ein Erzeugnis des Geologen ist. "Ein talentierter Mathematiker erschafft keine Mathematik, er entdeckt sie." (Leonard M. Wapner, Aus 1 mach 2)
Der Formalismus vertritt die Auffassung, Mathematik sei eine aus Symbolen bestehende Sprache, welche nach bestimmten Übereinkünften zu verwenden seien. Die entstehenden Theoreme und Sätze müssen nicht auf die physikalische Welt angewandt werden. Damit steht die Mathematik abseits der physikalischen Realität. Sie wird damit der gesprochenen Sprache oder dem Kunstwerk vergleichbar.
Es gibt noch einen Standpunkt der Konstruktivisten, welche glauben, dass nur mathematische Objekte Bedeutung haben, die auf endlichem Wege konstruiert werden können. Konstruktivisten neigen dazu, sich unendlichen Prozessen und existenziellen Theoremen zu widersetzen, die den behandelten Gegenstand nicht konstruieren.
Die Konstruktivisten haben Streit mit den Vertretern der beiden oberen Standpunkte, welche einander auch nicht mögen.
Der Formalismus kann auch als Logizismus bezeichnet werden.
Was bedeutet das nun für unsere heutige Ausbildung? Ich kann die manchmal gehörte Behauptung verstehen, dass Mathematik nicht gebraucht wird. Ich verstehe das aus meiner formalistischen Sicht heraus. (Mathematik ist formalistisch, Rechnen ist realistisch, sagt steppenhund). Die formalistische Mathematik hat in der Grund- und Mittelschule nichts verloren, es sei denn, man möchte die Mathematik wie in diversen Sportschulen betreiben. Niemand argumentiert über die Notwendigkeit von Spezialschulen, um gute Skispringer oder Weltcupsieger im Skifahren auszubilden. Gute Mathematiker brauchen wir in Österreich aber doch nicht so dringend, oder? Schließlich gibt es vermutlich kaum einen Politiker, der den Unterschied der beiden oben genannten Extremstandpunkte versteht.
Was wir brauchen, sind minimale Rechenkünste, die eher dem Platonismus zuzuordnen sind. Alles, was ins Unendliche hineinführt, - also sämtliche Schreckgespenste der Konstruktivisten - ist sowieso Teufelszeug.
Im Prinzip benötigen wir also nur die Art von Mathematikunterricht, wie er so schön von Tom Lehrer (Link unbedingt anhören!) besungen wird.
Jetzt ist es aber so, dass wir heute - und speziell die Leser dieses Blogs - von Elektrizität und Elektronik und Mikroelektronik abhängig sind. Diese lässt sich aber nur unter Verwendung solcher mathematischen Formeln konstruieren, welche einmal eindeutig dem Formalismus hinzuzurechnen waren. Erst später fand man dann ganz überraschend die recht realistischen Anwendungen. Imaginäre Zahlen, Vektorrechnung, Differenzialrechnung kommen einmal nicht ohne reine Denkkonstrukte, Abstraktionen, unendliche Folgen, sowie Reihen und Beweise aus, welche auf abzählbaren Unendlichkeit der natürlichen Zahlen beruhen.
Wer soll also diese Mathematik weiterführen? Eine kleine Erschwernis scheint der Umstand zu sein, dass wesentliche mathematische Entdeckungen oder Entwicklungen fast immer in den Twen-Jahren gemacht wurden. Wann sollen denn die Studenten mit der Art zu denken vertraut gemacht worden sein?
Ich fasse also noch einmal zusammen:
Mathematik kann man als etwas verstehen, wofür man bei genügend langer Suche einfache verständliche Beispiel im realen Leben finden kann. (Look back to Tom Lehrer:)
Fortschritt in der Mathematik muss manchmal einen Weg gehen, der über das dünne Eis eines rein logischen Formalismus führt. Da gibt es Erkenntnisse, über die ein Cantor an Dedekind schreibt: "Ich habe das jetzt zwar herausgefunden und kann es beweisen, aber ich kann es nicht glauben."
Es liegt an uns als Eltern, wie wir unsere Kinder an die Mathematik heranführen. Die Schulbehörde stellt sich da ziemlich dumm an. Aber darüber im nächsten Beitrag.