Kondensat der Jahre

Natürliche Zahlen und die Peano-Axiome
auch für Nichtmathematiker vielleicht amüsant zu lesen

Laut DIN 5473 werden die natürlichen Zahlen folgendermaßen definiert:

Die Menge der natürlichen Zahlen IN enthält die Zahlen, die zum Abzählen benötigt werden einschließlich der Zahl Null. ( IN ist die hier verwendete Schreibweise für ein N mit doppeltem Linksstrich.)

Stellvertretend für viele andere Erklärungen zu diesem Phänomen seien hier zwei Zitate aus Mathematikvorlesungen genannt. (bewusst ohne Quellenangabe, mittlerweile ist es in den neuen Lehrbüchern so verankert.)

“Die Definition ordnet das Element 0 der Menge der natürlichen Zahlen IN zu. Obwohl dies vom Begriff des Abzählens nicht direkt einzusehen ist , wird dadurch jedoch die Symbolik der Zahlengrundmengen vereinfacht. Aber auch die Schreibweise von Indizes an Koeffizienten beginnt meist mit 0.“ (Hervorhebung durch den Editor)

“Dabei ist zu beachten, daß die Null bei der Definition nach der DIN-Norm in den naürlichen Zahlen enthalten ist. Viele Lehrbücher verwenden eine andere Definition der natürlichen Zahlen, bei der die Null nicht enthalten ist. In diesem Skript wird aber die Null immer in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten sein. “ (damit sind wohl “alte” Lehrbücher gemeint)

Im Kasten unten sind die Peano-Axiome angeführt, auf deren Grundlage die Beweisführung für eine Reihe von wesentlichen mathematischen Aussagen mittels vollständiger Induktion möglich ist. Das dritte Peaon-Axiom wird durch die Definition eindeutig umgestoßen. Gemäß Definition ist der Nachfolger von 0 die 1.

Was folgt daraus? .....

Giuseppe Peano

Geboren: 27. August 1858 in Cuneo, Piemont, Italien
Gestorben: 20. April 1932 in Turin, Italien

Axiome, die die Menge der natürlichen Zahlen begründen:


1 ist eine (natürliche) Zahl.
Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
1 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h aus n' = m' folgt n = m.

Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.


Dese Axiome wurden von Giuseppe Peano 1892 publiziert.

Auf Axiom V beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion:

Wenn man eine Aussageform a(n) für alle natürlichen Zahlen n als gültig nachweisen will, so weist man sie zunächst für die Zahl n=1 nach (Verankerung) und zeigt dann, dass - falls a(k) wahr ist, auch a(k') = a(k+1) wahr ist. Wegen Axiom V. muss dann a(n) für alle natürlichen n wahr sein. Kurz:

Verankerung:

Wenn für eine Behauptung a
a(1) gilt und aus
Induktionsschritt:
a(k) --> a(k+1) (für alle k) folgt, dann gilt
Es gilt:
a(n) (für alle natürlichen Zahlen n)

Anmerkung: man kann auch mit a(5) anfangen oder einer anderen natürlichen Zahl, doch mit a(0) wird die Beweislage schwierig.

Zusätzliche Überlegung:

Dem geneigten Leser stelle ich anheim, sich selbst über die Begriffe “natürlich”, (Mathematik)-Geschichte umschreiben (Orwell 1984) und die Autoren deutscher Industrienormen ein entsprechendes Bild zu machen. Vielleicht ist das nur der i-Punkt auf den Resultaten der Pisa-Studie.

Aber für angesehene Mathematiker ist Natürlichkeit nur eine Konventionalität. Kein Wunder, dass die Schüler sich dann fragen, wieso sie so etwas Vertrotteltes wie eine natürliche Mathematik lernen sollen.

Nachwort: und ja ich weiss, dass man den Induktionsschluss sehr wohl auch mit den neuen natürlichen Zahlen durchführen kann. Man benötigt halt noch einen Zusatz, dass a(0) nicht für die Beweisführung herangezogen werden darf.
Aber genau diese Art von Denkweise ist es, welche die Leute im Elfenbeinturm abgrenzt.

oder sie werden es.
Wer frühere Einträge von mir gelesen hat oder mich persönlich kennt, wird die Ironie meiner Aussage richtig einschätzen können.
Gerade weil mich meine Freunde und Verwandten kennen, bekomme ich zu Weihnachten auch Bücher, die sich mit ungelösten Fragen beschäftigen. Oder mit Paradoxa.
Über die Feiertage habe ich vornehmlich in einem Buch gelesen, welches sich mit dem Paradoxon von Banach-Tarski beschäftigt.
Das Buch ist so gut geschrieben, dass die wesentlichen Punkte der Beweisführung sehr verständlich erklärt scheinen. Interessanterweise war am 3. Jänner ein Radiobeitrag über eine neue Biografie über Georg Cantor, dem Begründer der Mengenlehre, der mit einem fingierten Streitgespräch zwischen einem Platoniker und einem Realisten dramatisiert war.
Anläßlich eines früheren Beitrags bemerkte ein anonymer Kommentator, dass ich die Quadratur des Kreises wohl vergeblich versuchen würde. (Gleichzeitig die Masse und die "Elite" anzusprechen)
Für mich erscheinen nun drei Themen als erwähnenswert:

1. die Erklärung der mathematischen Standpunkte
2. die Erwähnung, dass ich jetzt langsam begreife, wie vertrottelt die Lehrplanersteller gewesen sind, welche die Generation nach mir unbedingt mit Mengenlehre füttern musste.
3. die Darstellung, dass die Quadratur des Kreises tatsächlich möglich ist. (nicht griechisch sondern scherenkongruent)

Damit dieser Beitrag nicht zu lang wird, beschränke ich mich heute auf den ersten Punkt. Für eine genauere Betrachtung bietet sich auch die Philosophie der Mathematik an.

Die platonische Sicht der Mathematik (oder der mathematische Realismus) behauptet, dass die mathematischen Objekte unabhängig vom menschlichen Geist existieren. Eine Zahl pi, ein Beweis, eine Lösung wird vom Mathematiker entdeckt. Die mathematischen Objekte sind genauso wenig ein Erzeugnis des menschlichen Geistes, wie ein Diamant ein Erzeugnis des Geologen ist. "Ein talentierter Mathematiker erschafft keine Mathematik, er entdeckt sie." (Leonard M. Wapner, Aus 1 mach 2)
Der Formalismus vertritt die Auffassung, Mathematik sei eine aus Symbolen bestehende Sprache, welche nach bestimmten Übereinkünften zu verwenden seien. Die entstehenden Theoreme und Sätze müssen nicht auf die physikalische Welt angewandt werden. Damit steht die Mathematik abseits der physikalischen Realität. Sie wird damit der gesprochenen Sprache oder dem Kunstwerk vergleichbar.
Es gibt noch einen Standpunkt der Konstruktivisten, welche glauben, dass nur mathematische Objekte Bedeutung haben, die auf endlichem Wege konstruiert werden können. Konstruktivisten neigen dazu, sich unendlichen Prozessen und existenziellen Theoremen zu widersetzen, die den behandelten Gegenstand nicht konstruieren.
Die Konstruktivisten haben Streit mit den Vertretern der beiden oberen Standpunkte, welche einander auch nicht mögen.
Der Formalismus kann auch als Logizismus bezeichnet werden.
Was bedeutet das nun für unsere heutige Ausbildung? Ich kann die manchmal gehörte Behauptung verstehen, dass Mathematik nicht gebraucht wird. Ich verstehe das aus meiner formalistischen Sicht heraus. (Mathematik ist formalistisch, Rechnen ist realistisch, sagt steppenhund). Die formalistische Mathematik hat in der Grund- und Mittelschule nichts verloren, es sei denn, man möchte die Mathematik wie in diversen Sportschulen betreiben. Niemand argumentiert über die Notwendigkeit von Spezialschulen, um gute Skispringer oder Weltcupsieger im Skifahren auszubilden. Gute Mathematiker brauchen wir in Österreich aber doch nicht so dringend, oder? Schließlich gibt es vermutlich kaum einen Politiker, der den Unterschied der beiden oben genannten Extremstandpunkte versteht.
Was wir brauchen, sind minimale Rechenkünste, die eher dem Platonismus zuzuordnen sind. Alles, was ins Unendliche hineinführt, - also sämtliche Schreckgespenste der Konstruktivisten - ist sowieso Teufelszeug.
Im Prinzip benötigen wir also nur die Art von Mathematikunterricht, wie er so schön von Tom Lehrer (Link unbedingt anhören!) besungen wird.
Jetzt ist es aber so, dass wir heute - und speziell die Leser dieses Blogs - von Elektrizität und Elektronik und Mikroelektronik abhängig sind. Diese lässt sich aber nur unter Verwendung solcher mathematischen Formeln konstruieren, welche einmal eindeutig dem Formalismus hinzuzurechnen waren. Erst später fand man dann ganz überraschend die recht realistischen Anwendungen. Imaginäre Zahlen, Vektorrechnung, Differenzialrechnung kommen einmal nicht ohne reine Denkkonstrukte, Abstraktionen, unendliche Folgen, sowie Reihen und Beweise aus, welche auf abzählbaren Unendlichkeit der natürlichen Zahlen beruhen.
Wer soll also diese Mathematik weiterführen? Eine kleine Erschwernis scheint der Umstand zu sein, dass wesentliche mathematische Entdeckungen oder Entwicklungen fast immer in den Twen-Jahren gemacht wurden. Wann sollen denn die Studenten mit der Art zu denken vertraut gemacht worden sein?
Ich fasse also noch einmal zusammen:
Mathematik kann man als etwas verstehen, wofür man bei genügend langer Suche einfache verständliche Beispiel im realen Leben finden kann. (Look back to Tom Lehrer:)
Fortschritt in der Mathematik muss manchmal einen Weg gehen, der über das dünne Eis eines rein logischen Formalismus führt. Da gibt es Erkenntnisse, über die ein Cantor an Dedekind schreibt: "Ich habe das jetzt zwar herausgefunden und kann es beweisen, aber ich kann es nicht glauben."
Es liegt an uns als Eltern, wie wir unsere Kinder an die Mathematik heranführen. Die Schulbehörde stellt sich da ziemlich dumm an. Aber darüber im nächsten Beitrag.