Über die Natürlichkeit
Natürliche Zahlen und die Peano-Axiome
auch für Nichtmathematiker vielleicht amüsant zu lesen
Laut DIN 5473 werden die natürlichen Zahlen folgendermaßen definiert:
Die Menge der natürlichen Zahlen IN enthält die Zahlen, die zum Abzählen benötigt werden einschließlich der Zahl Null. ( IN ist die hier verwendete Schreibweise für ein N mit doppeltem Linksstrich.)
Stellvertretend für viele andere Erklärungen zu diesem Phänomen seien hier zwei Zitate aus Mathematikvorlesungen genannt. (bewusst ohne Quellenangabe, mittlerweile ist es in den neuen Lehrbüchern so verankert.)
“Die Definition ordnet das Element 0 der Menge der natürlichen Zahlen IN zu. Obwohl dies vom Begriff des Abzählens nicht direkt einzusehen ist , wird dadurch jedoch die Symbolik der Zahlengrundmengen vereinfacht. Aber auch die Schreibweise von Indizes an Koeffizienten beginnt meist mit 0.“ (Hervorhebung durch den Editor)
“Dabei ist zu beachten, daß die Null bei der Definition nach der DIN-Norm in den naürlichen Zahlen enthalten ist. Viele Lehrbücher verwenden eine andere Definition der natürlichen Zahlen, bei der die Null nicht enthalten ist. In diesem Skript wird aber die Null immer in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten sein. “ (damit sind wohl “alte” Lehrbücher gemeint)
Im Kasten unten sind die Peano-Axiome angeführt, auf deren Grundlage die Beweisführung für eine Reihe von wesentlichen mathematischen Aussagen mittels vollständiger Induktion möglich ist. Das dritte Peaon-Axiom wird durch die Definition eindeutig umgestoßen. Gemäß Definition ist der Nachfolger von 0 die 1.
Was folgt daraus? .....
Giuseppe Peano
Geboren: 27. August 1858 in Cuneo, Piemont, Italien
Gestorben: 20. April 1932 in Turin, Italien
Axiome, die die Menge der natürlichen Zahlen begründen:
1 ist eine (natürliche) Zahl.
Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
1 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h aus n' = m' folgt n = m.
Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.
Dese Axiome wurden von Giuseppe Peano 1892 publiziert.
Auf Axiom V beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion:
Wenn man eine Aussageform a(n) für alle natürlichen Zahlen n als gültig nachweisen will, so weist man sie zunächst für die Zahl n=1 nach (Verankerung) und zeigt dann, dass - falls a(k) wahr ist, auch a(k') = a(k+1) wahr ist. Wegen Axiom V. muss dann a(n) für alle natürlichen n wahr sein. Kurz:
Verankerung:
Wenn für eine Behauptung a
a(1) gilt und aus
Induktionsschritt:
a(k) --> a(k+1) (für alle k) folgt, dann gilt
Es gilt:
a(n) (für alle natürlichen Zahlen n)
Anmerkung: man kann auch mit a(5) anfangen oder einer anderen natürlichen Zahl, doch mit a(0) wird die Beweislage schwierig.
Zusätzliche Überlegung:
Dem geneigten Leser stelle ich anheim, sich selbst über die Begriffe “natürlich”, (Mathematik)-Geschichte umschreiben (Orwell 1984) und die Autoren deutscher Industrienormen ein entsprechendes Bild zu machen. Vielleicht ist das nur der i-Punkt auf den Resultaten der Pisa-Studie.
Aber für angesehene Mathematiker ist Natürlichkeit nur eine Konventionalität. Kein Wunder, dass die Schüler sich dann fragen, wieso sie so etwas Vertrotteltes wie eine natürliche Mathematik lernen sollen.
Nachwort: und ja ich weiss, dass man den Induktionsschluss sehr wohl auch mit den neuen natürlichen Zahlen durchführen kann. Man benötigt halt noch einen Zusatz, dass a(0) nicht für die Beweisführung herangezogen werden darf.
Aber genau diese Art von Denkweise ist es, welche die Leute im Elfenbeinturm abgrenzt.
auch für Nichtmathematiker vielleicht amüsant zu lesen
Laut DIN 5473 werden die natürlichen Zahlen folgendermaßen definiert:
Die Menge der natürlichen Zahlen IN enthält die Zahlen, die zum Abzählen benötigt werden einschließlich der Zahl Null. ( IN ist die hier verwendete Schreibweise für ein N mit doppeltem Linksstrich.)
Stellvertretend für viele andere Erklärungen zu diesem Phänomen seien hier zwei Zitate aus Mathematikvorlesungen genannt. (bewusst ohne Quellenangabe, mittlerweile ist es in den neuen Lehrbüchern so verankert.)
“Die Definition ordnet das Element 0 der Menge der natürlichen Zahlen IN zu. Obwohl dies vom Begriff des Abzählens nicht direkt einzusehen ist , wird dadurch jedoch die Symbolik der Zahlengrundmengen vereinfacht. Aber auch die Schreibweise von Indizes an Koeffizienten beginnt meist mit 0.“ (Hervorhebung durch den Editor)
“Dabei ist zu beachten, daß die Null bei der Definition nach der DIN-Norm in den naürlichen Zahlen enthalten ist. Viele Lehrbücher verwenden eine andere Definition der natürlichen Zahlen, bei der die Null nicht enthalten ist. In diesem Skript wird aber die Null immer in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten sein. “ (damit sind wohl “alte” Lehrbücher gemeint)
Im Kasten unten sind die Peano-Axiome angeführt, auf deren Grundlage die Beweisführung für eine Reihe von wesentlichen mathematischen Aussagen mittels vollständiger Induktion möglich ist. Das dritte Peaon-Axiom wird durch die Definition eindeutig umgestoßen. Gemäß Definition ist der Nachfolger von 0 die 1.
Was folgt daraus? .....
Giuseppe Peano
Geboren: 27. August 1858 in Cuneo, Piemont, Italien
Gestorben: 20. April 1932 in Turin, Italien
Axiome, die die Menge der natürlichen Zahlen begründen:
1 ist eine (natürliche) Zahl.
Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
1 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h aus n' = m' folgt n = m.
Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.
Dese Axiome wurden von Giuseppe Peano 1892 publiziert.
Auf Axiom V beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion:
Wenn man eine Aussageform a(n) für alle natürlichen Zahlen n als gültig nachweisen will, so weist man sie zunächst für die Zahl n=1 nach (Verankerung) und zeigt dann, dass - falls a(k) wahr ist, auch a(k') = a(k+1) wahr ist. Wegen Axiom V. muss dann a(n) für alle natürlichen n wahr sein. Kurz:
Verankerung:
Wenn für eine Behauptung a
a(1) gilt und aus
Induktionsschritt:
a(k) --> a(k+1) (für alle k) folgt, dann gilt
Es gilt:
a(n) (für alle natürlichen Zahlen n)
Anmerkung: man kann auch mit a(5) anfangen oder einer anderen natürlichen Zahl, doch mit a(0) wird die Beweislage schwierig.
Zusätzliche Überlegung:
Dem geneigten Leser stelle ich anheim, sich selbst über die Begriffe “natürlich”, (Mathematik)-Geschichte umschreiben (Orwell 1984) und die Autoren deutscher Industrienormen ein entsprechendes Bild zu machen. Vielleicht ist das nur der i-Punkt auf den Resultaten der Pisa-Studie.
Aber für angesehene Mathematiker ist Natürlichkeit nur eine Konventionalität. Kein Wunder, dass die Schüler sich dann fragen, wieso sie so etwas Vertrotteltes wie eine natürliche Mathematik lernen sollen.
Nachwort: und ja ich weiss, dass man den Induktionsschluss sehr wohl auch mit den neuen natürlichen Zahlen durchführen kann. Man benötigt halt noch einen Zusatz, dass a(0) nicht für die Beweisführung herangezogen werden darf.
Aber genau diese Art von Denkweise ist es, welche die Leute im Elfenbeinturm abgrenzt.
steppenhund - 14. Jul, 22:50
